从一到无穷大

核心内容

伽莫夫从“无穷大数”开始讲起，从数学知识入手，逐步介绍了物理学、化学、热力学、遗传学、宇宙学等领域在20世纪取得的重大进展，探讨了人类对于微观世界和宏观世界的认知。全书涵盖内容广博，语言深入浅出。
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一、“无穷大”数具有跟普通数字截然不同的性质

在“无穷大”中，整体可以等于部分。但数学家们用“一一对应”的方式来比较无穷大数的大小后发现，并非所有的“无穷大”数字都是一样大的。
1. 可以用“一一对应”的方式来比较“无穷大”数字的大小
假如有一群不懂数学的原始人，要比较一堆石头和一堆铜钱的多少，那他们就会把石头和铜钱一个个摆开，然后一一对应，用一个石头对应一个铜钱，看看谁的数目多。数学家们比较“无穷大数”大小的方法，就和这个类似。
【案例】
整数1可以对应偶数2，整数2可以对应偶数4，整数3可以对应偶数6……这么一来就会发现，偶数和整数可以一一对应，所以偶数的总数和整数的总数是相等的。因此在“无穷大”的情况下，整体是可以等于部分的。
2. “无穷大”的数字之间也有大小区分
无穷大数一共有三个等级。第一级无穷大是整数的数目；第二级无穷大是线段、长方形、立方体这些几何结构里点的数目；第三级无穷大，是所有曲线的形状的数目。

二、负数的平方根被称为“虚数”，可以在相对论中派上用场

数学家们一度以为，负数的平方根只是在计算过程中出现的毫无意义的数字。但人们后来发现，看似毫无意义的虚数，却能在相对论中派上用场。
1. 可以用与代表实数的横轴所垂直的纵轴来代表“虚数”
代表实数的“数轴”，一般就是画一条横线，然后标上一个零点，左边是负数，右边是正数。如果在零点画一根和实轴相垂直的纵轴，那这条轴上的数字，就是虚数。
【案例】
数学家们规定，-1的平方根是i。这么一来的话，虚轴上的点就代表1i，2i，3i……如果有个数字是20+15i，那就可以在横轴上找到20，纵轴上找到15i，二者相交汇的点，就是20+15i。
2. “虚数”可以用来构建一套四维空间的几何学
我们生活的世界，在空间上是一个三维世界，在时间上是一个一维世界。在计算四维空间的距离时，我们可以把空间距离看做横轴，时间距离看成纵轴，利用光速对时间和空间进行转换后，我们就可以构建出一套四维空间的几何学。
【案例】
如果你出门问路，问地铁站还有多远？对方可能会回答，走路要20分钟，骑个共享单车只要5分钟。这就是一个典型的，用时间来表示距离的办法。我们只要找到一个确定的速度，就可以把时间转换成空间。

三、我们所处的三维空间是可以弯曲的

在普通人看来，空间是没有大小形状的。但科学家通过观测发现，空间是可以弯曲的，空间的结构也会影响宇宙的性质。
1. 可以通过实验来测量空间的弯曲
1919年，一支英国的天文队发现，地球和两颗恒星之间的夹角，在有太阳干扰和没有太阳干扰的情况下，出现了微小的差异，说明太阳的确扭曲了周围的空间。这一实验也在很大程度上验证了爱因斯坦的广义相对论。
【案例】
平面几何中，三角形的三个内角之和等于180度。但这个规律在曲面中不成立。如果在地球仪上画一个三角形，那三角形的内角和就会大于180度。如果在马鞍上画三角形，那三角形的内角和就会小于180度。生活在二维平面上的蚂蚁，如果想知道自己身处的世界是平面还是曲面，就可以通过这种方式来验证。人类要探测三维空间的弯曲，也可以采用类似的方法。
2. 空间的弯曲是引力的来源
爱因斯坦在对时空形态进行研究之后提出，引力其实就是空间的弯曲所导致的：大质量的物体会导致空间弯曲，弯曲的空间又影响了物质的运动，这才是引力的真正本质。
【案例】
你可以把空间想象成一张巨大的有弹性的保鲜膜，如果你往上面放了一颗球，那这颗球就会让膜变形，也就是导致空间发生弯曲。膜一旦弯曲，就会让膜上其他东西的运动轨迹也发生变化。这就是引力的来源。

金句

1. 在无穷大的情况下，部分是可以等于整体的。
2. 无穷大数一共有三个等级。第一级无穷大是整数的数目；第二级无穷大是线段、长方形、立方体这些几何结构里点的数目；第三级无穷大，是所有曲线的形状的数目。
3. 虚数可以把时间和空间结合起来，构建出一套四维空间的几何学。这套几何学会让我们发现，时间和空间并不是绝对独立的，也不是恒定不变的。
4. 平面几何里有个常识，三角形的三个内角之和等于180度。但这个规律只在平面上才成立，在曲面中不成立。
5. 引力就是空间的弯曲所导致的：大质量的物体会导致空间弯曲，弯曲的空间又影响了物质的运动，这就是引力的真正本质。